Göm menyn

Matematik

Frågor och svar

Fråga: Jag har tagit fram en serie kooordinater som ser ut som någon form av andragradsekvation när jag gör en graf. Skulle väldigt gärna vilja veta hur ekvationen ser ut som har dessa koordinater. Här är koordinaterna (35 st):

1,3  2,8  3,15  4,26  5,37  6,50  7,67  8,74  9,85  10,102
11,125  12,138  13,155  14,174  15,197  16,228  17,257
18,280  19,309  20,352  21,383  22,420  23,463  24,522
25,563  26,610  27,653  28,700  29,761  30,832  31,911
32,970  33,1037  34,1098  35,1181
Hoppas och tror att det är en funktion och att det går att få fram dess uttryck. Tack på förhand!

Svar: Eftersom du tror att dina koordinater hör samman med en andragradskurva, kan du ansätta
sambandet mellan koordinaterna som
y = ax2 + bx + c:
Sätter du sedan successivt in x = 1, x = 2 och x = 3, får du ekvationssystemet
a + b + c = 3
4a + 2b + c = 8
9a + 3b + c = 15
med lösningen a = 1, b = 2, c = 0. Den andragradskurva, som går genom de tre första
punkterna, är alltså
y = x2 + 2x:
För x = 4 blir y = 24, så kurvan går inte genom den fjärde punkten (4; 26). Trots detta
ansluter kurvan rätt väl till dina data som du ser genom att beräkna y för x = 4; ...; 35 och
jämföra med dina y-värden.
Dina punkter ligger alltså inte på en andragradskurva, men de ligger rätt nära en sådan
kurva.

Bengt-Ove Turesson, universitetslektor i matematik

Fråga: Kan man på ett enkelt sätt visa vad som är störst av 100^99 eller 99^100?

Svar: Jag kommer att visa att 100^99<99^100. Detta följer av att

(n+1)^n<n^(n+1) för n>=3

Lite enkel algebra visar att den sista olikheten är ekvivalent med att

((1+1/n)^n)(1/n)<1 för n>=3

Att den sista olikheten är sann beror på att

(1+1/n)^n<e<3 för n>=1

vilket man brukar visa i den första analyskursen på universitetet.

Bengt-Ove Turesson, universitetslektor i matematik

Fråga: Jag sysslar mycket med sportspel och sitter och försöker räkna ut sannolikheter i %. Min fråga är enligt följande: Vad är sannolikheten att du skall förlora fyra gånger i rad om du spelar på ett objekt som har 35% chans att förlora? Du har altid 35% chans att förlora varje gång men vad sjunker % satsen till att du skall förlora fyra gånger i rad och hur ser den matematiska formeln ut.

Svar: Om spelen är oberoende av varandra, och sannolikheten att förlora ett visst spel är p (lika för alla spel), så är sannolikheten att förlora n spel i rad lika med p^n.
I detta fall, med p=0.35 och n=4, fås p^n=0.01500625, dvs 1.500625%.

Torkel Erhardsson, universitetslektor i matematik

Fråga: Det finns ett begrepp ”kontinuerligt deriverbar funktion”. Har aldrig förstått  detta. För mig förefaller det att vara en omedelbar konsekvens av medelvärdessatsen att om en funktion (av en variabel) är deriverbar i ett intervall så måste derivatan vara kontinuerlig i intervallet. Jag skulle gärna vilja se ett exempel på en deriverbar funktion vars derivata är diskontinuerlig.

Bengt Ove Turesson, universitetslektor i matematik har besvarat din fråga. Se svaret genom att klicka här (pdf).

Fråga: Hur kommer det sig att 5 upphöjt till 0 blir ett?

Bengt Ove Turesson, universitetslektor i matematik har besvarat din fråga. Se svaret genom att klicka här (pdf).

Fråga: Vilken är den största sfär som kan omslutas av en given pyramid?

Bengt Ove Turesson, universitetslektor i matematik har besvarat din fråga. Se svaret genom att klicka här (pdf).

Fråga: När började matematiken ?

Svar: Hej Caroline och tack för din intresseväckande och svåra fråga ! Det finns bl.a upphittade vargben med inristade skåror, som kanske räknar dödade villebråd, som är mer än 30.000 år gamla men vi vet inget mer om matematiken i den kultur som utförde detta. För att få kunskap om tidig matematik får vi vända oss till kulturer som hade ett skriftspråk och som därför lämnat dokument efter sig som vi nu kan studera. De äldsta skriftspråken är den sumeriska kilskriften och den fornegyptiska hieroglyfskriften och de är ca 5500 år gamla.
Dokument som beskriver mycket gammal matematik i kilskrift finner vi på lertavlor som påträffats kring floderna Eufrat och Tigris i nuvarande Irak. Matematiken på dessa lertavlor tar upp både geometriska och talteoretiska problem som är av intresse än i dag. Denna kulturs matematik brukar lite slarvigt kallas "babylonsk matematik". Den äldsta kända egyptiska matematiken finns på ett antal papyrusrullar ca 4000 år gamla, som bevarats i Egyptens torra klimat och som finns bevarade i dag på museer, t.ex på British Museum i London där de kan beskådas i en monter. Dessa rullar ställer och löser en mängd problem av både praktisk och teoretisk natur. Om du har tillgång till internet kan du hitta väldigt mycket information om allt detta genom en enkel sökning på bl. a. Rhindpapyrusen eller Babylonsk matematik.

Olle Axling, universitetslektor i matematik

Fråga: Vi har en filosofisk diskussion åt mattehållet som handlar om en hare, en sköldpadda och kontinuitet. Troligen är det här en känd paradox, men vi vill ha ett formellt svar på om det är nått skumt med kontinuitet i verkligheten eller om det finns en lösning på det.

Paradoxen:
En hare och en sköldpadda ska tävla. Haren springer fortare än sköldpaddan men startar längre bak. När startskottet går så har de vissa positioner. När nu haren kommer fram till den position som sköldpaddan hade vid starten har sköldpaddan kommit en liten bit. För att haren ska komma om sköldpaddan måste haren passera den punkt sköldpaddan nu är i. När den kommer dit så har sköldpaddan kommit ytterligare en bit, osv. Du fattar nog var det hela slutar, dvs med att haren alltid måste passera ännu en punkt innan den når sköldpaddan.

Nu är det ju uppenbart att harar kan springa om sköldpaddor i verkligheten. Är detta ett tecken på att världen kanske inte kan/bör beskrivas som kontinuerlig? Din paradox är en av Zenons (omkring 500 f.kr.) klassiska paradoxer. I ursprungsversionen är det Akilles (huvudpersonen i Illiaden) som tävlar med sköldpaddan, men det gör ju ingen skillnad.

Svar: En matematisk "lösning" på paradoxen är så här: Antag att sköldpaddan rör
sig med farten /v/ och har försprånget /d/ framför Akilles. Antag vidare 
att Akilles
rör sig med farten /xv/, där /x/>1. Vilka enheter vi väljer spelar ingen 
roll här.

Den tid, som det tar för Akilles för att nå sköldpaddans startpunkt, är 
/d/xv/.
Under tiden /d/xv/ rör sig nu sköldpaddan sträckan (/d/xv/)/v/ = /d/x/.
Att förflytta sig denna sträcka tar för Akilles tiden (/d/x/)//xv/ = 
/d//(/vx^/2)
(där ^2 betyder kvadrering). Nästa sträcka tar för Akilles tiden 
/d//(/vx/^3),
och så vidare.

Den sammanlagda tiden, som det tar för Akilles att komma ifatt sköldpaddan,
är enligt formeln för den geometriska serien

/d d d d/
--- + ---- + ---- + ... = ----- .
/x v/ /x/^2/v / /x/^3/v/ 
/v/(/x-/1)

Alltså kommer Akilles ifatt sköldpaddan på ändlig tid.

Om detta verkligen är en föklaring till paradoxen kan diskuteras. Om man
tolkar den som om det måste ta oändligt lång tid för att utföra oändligt
många saker, är det en förklaring: det har vi ju visat att det inte gör. 
Om vi
tolkar paradoxen som om det är omöjligt att överhuvudtaget utföra oändligt
många saker, är det nog inte en förklaring; i någon mån undviker 
matematikens
gränsvärdesbegrepp (som ligger bakom summationen av den oändliga serien)
denna aspekt av oändligheten.

Precis som du skriver uppstår paradoxen när man antar att verkligheten kan
beskrivas som kontinuerlig och att rum och tid därmed kan delas in i hur små
delar som helst. I kvantmekaniken använder man en minsta längd- och 
tidsenhet,
nämligen Plancklängden respektive Plancktiden, och accepterar man att sådana
finns uppstår inte Zenons paradox. Å andra sidan vet vi ju att den 
kontinuerliga
beskrivningen av verkligheten är ändamålsenlig i de flesta sammanhang.

Bengt Ove Turesson., universitetslektor i matematik

Fråga: Antag att jag har glömt bort min portkod och måste chansa för att komma in. Enklast är då att börja prova alla koder; 0000, 0001, ... Dvs 4 tryckningar per provad kod vid en första anblick. Men om jag väljer att börja med koderna 0000, 1111, ... så har jag på mina första 8 tryckningar provat koderna 0000, 0001, 0011, 0111 och 1111, eftersom kodlåset hela tiden minns mina fyra senaste tryckningar. Finns det något optimalt sätt att trycka för att optimera antal provade koder/knapptryck och går det att beräkna minsta antalet knapptryckningar som krävs för att ha provat alla koder?

Svar: Ja, du kan trycka in en enda lång svit med 10003 tryckningar istället för den naiva 40000 tryckningar, precis som du beskriver. D.v.s. varje ny siffra du trycker in ger en ny 4-sifferkombination som inte prövats tidigare. Detta brukar ges som exempel av hur man kan använda Eulerstigar i grafer och finns i de flesta grundläggande universitetsläroböcker i grafteori eller diskret matematik. Jag hänvisar till dessa för en beskrivning av hur man gör i praktiken. 

Svante Linusson
professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet

Fråga: Har en mattematisk fråga. Den lyder såhär: Tänk dig att du har tre tärningar med sex sidor. Du slår dessa tre tärningar nio gånger i rad och skriver upp resultaten på varje slag. Hur stor är chansen att du får 18 på alla slag?

Svar: Chansen att få en sexa är 1/6. Chansen att få tre sexor i rad är då (1/6)^3=1/6*1/6*1/6=1/216. Det du beskriver är samma som att få en sexa 27 gånger i rad. Chansen för det är alltså (1/6)^27.

Svante Linusson
professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet

Fråga: Jag undrar om sannolikhet att krocka med en älg på en begränsad körsträcka minskar om man kör snabbare. Så här är förutsättningarna: Antag att vägbanan går från punkt A till punkt B genom ett kvadratiskt område bestående av 400a.e. (Dvs 20 l.e. x 20 l.e.) Vägbanan går i mitten och är 2 l.e. x 20 l.e. = 40a.e. Älgen är 2a.e. stor och bilen 6a.e. stor. Ju snabbare bilen kör desto högre relativ hastighet jmf med älgen har den. För gärna ett resonemang kring det hela. Finns det andra förutsättningar som gör en högre alternativt lägre hastighet mer gynnsam? Möjligheter till att ev. hinna bromsa etc. ska ingen hänsyn tas till.

Svar: Svaret på frågan om man kan minska risken att krocka med en älg genom att köra fort är förstås nej rent allmänt. Frågeställaren undrar om man genom att inte hänsyn tas till huruvida föraren av bilen (eller älgen) kan hinna styra undan eller bromsa etc. kan få ett ansvar. Vi kanske kan tänka oss att det handlar om att köra över sniglar istället för då brukar inte bilister bromsa eller styra undan. Om man inte vet något om om hur älgen (eller snigeln) beter sig och föraren inte reagerar på något i hans väg så är det enda intressanta huruvida älgen och bilen råkar befinna sig på samma plats vid samma tidpunkt. Svaret är att då spelar i princip hastigheten inte någon roll. Vi kan se det som så att älgen springer omkring och för varje given plats finns en sannolikhet att älgen befinner sig där. Matematiker gillar att se sannolikheten som en täthetsfunnktion. När bilen sedan kör längs vägen så är den totala sannolikheten att han kör på älgen summan av täthetsfunktionen i bilens väg. Alltså helt oberoende av bilens hastighet och bara beroende på vägens längd.

Svante Linusson
professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet

Fråga: En lite bisarr fråga. Om man kör en galen variant av rysk roulett, där man börjar med att skjuta med 5/6 skott i pistolen, tar ut en så det är 4/6, sedan 3, 2, 1. Hur stor är sannolikheten att man överlever? =)

Svar: Jag antar att man spelar med en revolver med möjlighet att placera sex kulor totalt (en pistol vet jag inte hur man skulle spela rysk roulette med) och att personen som spelar snurrar tillräckligt ordentligt och slumpmässigt så att alla försök är oberoende. Sannolikheten att överleva första skottet är då 1/6, andra skottet 2/6, tredje skottet 3/6 o.s.v. Resultatet av skotten är oberoende av varandra och därför får vi sannolikheten att överleva hela vansinnesspelet genom att multiplicera dessa sannolikheter, d.v.s. 1/6 * 2/6 * 3/6 * 4/6 * 5/6=5/324 eller ca 1,5 %

Svante Linusson
professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet

Fråga: Jag har en geometri-fråga som kräver lite introduktion: I vilken triangel som helst kan man rita in ett antal linjer, som möter varann:
(1) Alla linjer, ritade från ett hörn till mitten av sidan, som ligger mittemot, möter varann i en punkt. Denna punkten är triangelns tyngdpunkt. 
(2) Alla linjer, ritade från ett hörn i precis halva hörnvinkeln, möter varann i en punkt. Denna punkten är centrumspunkten av denna cirkel som kan ritas så att den tangerar triangeln på alla sidor. Den inskrivna cirkeln alltså.
(3) Alla linjer, ritade från mitten av en sida och vinkelrätt mot den, möter varann i en punkt. Denna punkten är centrumpunkten av en cirkel som kan ritas så att den går genom alla hörnpunkter av triangeln. Den omskrivna cirkeln alltså. Snyggt. 
(4) Och nu kommer frågan: Man kan fälla lodlinjen från ett hörn på sidan mittemot och även dessa linjer möter varan i en punkt. Men vad är den bra för? Hjälp, just nu tror jag att stackars punkten är helt värdelös! ;-)

Svar: Kalla hörnen A,B,C och skärningspunkten S. Mängden av A,B,C,S är ett "ortosystem" . Ta tre av dessa fyra punkter och bilda den triangel som har dem som hörn. Gör samma konstruktion med höjderna i den triangeln, så skär dom varandra i den fjärde punkten. Det kan alltså inte vara en rätvinklig triangel, då är ju S ett av hörnen. Redan de gamla grekerna kallade S för ortocentrum. I Encyclopedia of Triangle Center besvaras alla frågor om punkter och trianglar.

Olle Axling, universitetslektor i tillämpad matematik

Fråga: Jag undrar hur man räknar ut sannolikheten för att få 0,1.....13 rätt på stryktipset då man gjort en enkelrad. Nästa fråga är hur man sedan kan räkna vidare om man har kunskapen om att det statistiskt blir ex. 7st ettor, 3 X och 3 tvåor på kupongen. D.v.s jag placerar isället ut dessa tecken och undrar då om sannolikheten förändrats samt hur man räknar ut det.

Svar: Jag förstår din fråga så att vi först antar att chansen för etta, kryss och tvåa är lika stora. Då är sannolikheten att få 13 rätt lika med 1 dividerat med totala antalet möjliga rader. Totala antalet rader är 3^13=1 594 323, då det finns tre möjliga fall för var och en av de 13 matcherna och alla kombinationer är tillåtna. Sannolikheten är alltså en på 1 594 323 eller annorlunda uttryckt 1/3^13 =.0000006272 Jag tolkar din andra fråga så att man vet att i genomsnitt brukar 7 matcher av 13 sluta med etta osv. Det kan vi då tolka som att sannolikheten för en etta i en given match är 7/13, sannolikheten för ett kryss är 3/13 och för en tvåa 3/13. Har du nu tipsat på en viss rad så kan vi gå igenom den match för match och multiplicera sannolikheterna för de 13 matcherna. Med en viss given tipsrad med 7 ettor, 3 kryss och 3 tvåor har man då följande sannolikhet att få 13 rätt : (7/13)^7*(3/13)^3*(3/13)^3=.0000019822 (cirka 1 på 500 000). Den fiffiga matematikern inser då snabbt att man istället skall satsa på en rad med enbart ettor. Då blir sannolikhten för 13 rätt hela (7/13)^13=.0003199 (1 på 3126). Detta kan verka konstigt eftersom man tycker att en rad med bara ettor är så speciell att den borde vara mycket osannolik. Man kanske intuitivt tycker att det borde vara mer sannolikt att det blir 7 ettor, 3 kryss och 3 tvåor. Det är det också, men det finns väldigt många sådana tipsrader och varje enskild sådan rad är ännu mer osannolik än raden med bara ettor. Skall jag tippa på stryktipset blir en rad med bara ettor min rad.

Svante Linusson
professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet

Fråga: Jag har ett litet matematiskt problem jag har funderat på och skulle vilja ha lite hjälp med: Man har en oändligt lång rad med 1:or och 2:or. Var tredje siffra är en 2 och resten är ettor (211211211...). Säg att man sorterar siffrorna i två rader med 1:orna i ena raden och 2:orna i en annan. Då tycker jag att raden med 1:or borde vara dubbelt så lång som den med 2:or. Men det är ju oändligt många siffror i den raden som hade både 1:or och 2:or och då borde det vara det i de sorterade raderna också. Blir det då lika många 1:or som 2:or eftersom båda raderna är oändligt långa?

Svar: För det första, precis som du påpekar, måste båda de sorterade mängderna raderna) också innehålla oändligt antal element (siffror), annars skulle de i detta fall omöjligen tillsammans kunna utgöra en "oändlig rad". När man har ändliga mängder är det inga problem att prata om "lika många", det är ju bara att räkna antal element i mängderna som ska jämföras och sen avgöra om det är lika många element, eller om den ena mängden innehåller fler element än den andra.

Men när man ska göra något liknande med mängder som innehåller oändligt antal element, som t ex de du angett i din fråga, måste man komma överens om (dvs definiera) vad man menar med "lika många" lite mer noggrant. Inom matematiken brukar man då säga att två mängder är "lika stora" om det finns en bijektiv funktion/avbildning (en bijektion) mellan de två mängderna. Detta betyder att varje element i någon av mängderna är "kopplat" till ett och endast ett element i den andra mängden. Denna definition kan tas att gälla även för ändliga mängder, och betyder då helt enkelt att de har lika många element om de är lika stora.

Alla de tre mängder du beskrivit (den första raden och de två sorterade raderna) är exempel på uppräkneliga oändliga mängder, och mellan sådana kan man alltid hitta en bijektion, dessa är alltså lika stora. Bijektionen kan beskrivas som att man numrerar elementen i mängden och sen "kopplar" element nummer k i den ena mängden med element nummer k i den andra.

Ett exempel på en ouppräknelig mängd är alla positiva reella tal, eller man kan begränsa sig till alla reella tal mellan 0 och 1. Dessa två mängder är för övrigt lika stora (en bijektion för att visa detta: f(x)=1/x - 1 där x ligger mellan 0 och 1). Men dessa mängder är dock större än de uppräkneliga; hur man än försöker "koppla" elementen så blir det alltid något man inte får med i den ouppräkneliga mängden. Detta är nog inget som kan inses enkelt, men jag behandlar inte beviset för det här. Något annat som kanske inte heller kan inses så lätt är att mängden av alla rationella tal är uppräknelig. Jag berör inte heller det här, men för den som är intresserad finns en sida (på engelska) som tar upp båda dessa saker på John Carrol University, Mathematical Vignettes, Glimpses from the World of Mathematics.

Magnus Österholm
doktorand i matematik med ämnesdidaktisk inriktning

Fråga: Detta är en fråga vi har diskuterat en hel del vänner emellan och nu känner jag ett starkt behov av att få svaret utrett. Spelledaren förbereder sig genom att lägga tre spelkort (två kungar och ett ess) upp och ner på ett bord. Sedan kallar han in dig och berättar för dig att din uppgift är att hitta esset. Först väljer du ett kort. När detta är gjort kommer spelledaren att ta bort ett av de två korten du inte valt (som självklart inte är ett ess). Nu frågar han dig om du vill byta till det andra kortet som nu finns kvar eller behålla ditt första val.

Vi är i stort sett alla överrens om att man skall byta i det läget men vi undrar om den enkla förklaringen att man först har 1/3 chans och sen när ett kort är borta så har man 1/2 inte är fullständigt. Eller? Ibland hör man samma exempel men med 1000 lådor istället för 3 spelkort.

Svar: Det stämmer att man skall byta. Precis som frågeställaren själv konstaterar så har sannolikheterna ändrats då spelledaren tillför ny information genom att ta bort en nitlott. Dock inte på det sätt som antyds. Den nya information som man har fått av att en nitlott har plockats bort har inte påverkat sannolikheten att man gissade rätt från början som fortfarande är 1/3. Sannolikheten att något av de andra två korten var esset är från början 2/3. Det som har ändrats är att de två korten man inte pekade på har blivit ett och att sannolikheten att detta enda kort är esset är alltså 2/3 efter att nitlotten tagits bort. 2 gånger av 3 tjänar man alltså på att byta.

Observera att det är avgörande för resonemanget att spelledaren vet hur korten ligger och alltid plockar bort en nitlott. Om spelledaren plockade bort kortet utan att veta att det var en nitlott så tillförs ju inte information på samma sätt. 
Att gå över till 1000 spelkort istället för 3, där spelledaren tar bort 998 nitlotter istället för 1 är ett sätt att försöka göra det mer intuitivt klart att det är bra att byta. Nu tjänar man på det 999 gånger av 1000. Frågan var mycket het i USA för ca 15 år sedan där det fanns ett TV-program med 3 dörrar med en bil och två getter bakom. Och programledaren öppnade en dörr med en get efter att den spelande hade gissat precis som ovan. En het debatt utbröt om de spelande skulle byta eller inte.

Svante Linusson
professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet

Fråga: Jag har ett litet matte problem jag skulle vilja ha lite hjälp med. Om jag påstår att 1 och 0,99999...(nior i oändlighet) är samma sak har jag fel då? Jag tror att det kan vara så. För 1/3 är 0,3333333.... och 0,99999..../3 är också 0,333333... Eller???

Svar: Nej, du har inte fel i ditt påstående; 1 och 0,999... representerar verkligen samma tal. Ditt resonemang om division med 3 påvisar ju också detta. Det finns många sätt att resonera kring detta, och visa att 1 och 0,999... representerar samma tal.

Ett annat vanligt sätt att resonera är att skriva x=0,999... och sedan multiplicera båda sidor i likheten med 10, då fås 10x=9,999... Observera att niorna efter decimaltecknet fortfarande är oändligt många, dvs 9,999...=9+0,999...=9+x. Då har vi att 10x=9+x vilket ger att 9x=9 och att x=1. Alltså: x=0,999...=1 För den som är intresserad av mer resonemang kan jag tipsa om att söka på nätet, t.ex. efter 0.999 (engelskspråkiga sidor hittas).

Det kan nämnas att alla decimaltal som slutar med oändligt antal nior har samma egenskap, att de i decimalform kan skrivas på två sätt. T.ex. gäller att 1,53999...=1,54 Detta följer ju i princip direkt från att 0,999...=1

Magnus Österholm, doktorand i matematik med ämnesdidaktisk inriktning

Fråga: Jag anser att det finns ett exakt förhållande mellan volymen av ett klot och volymen av en pyramid med samma diameter resp bas.
3
4PiR /3
______ = Pi
3
2R /6

Jag anser att egypiernas definition av
Pi dvs = 22/7 är korrekt och att deras geometri inte byggde på 10-bas utan 7-bas. Det finns ett samband mellan klotet pyramiden och siffran 7.
Pi uttryckt som 3,1415...etc är irrelevant i det här fallet.

Svar: Efter att ha konsulterat min kollega Olle Axling har jag kommit fram till följande svar.

Fråga 1 är lätt: Volymen av ett klot med radien R är 4Pi/3 gånger R i kubik, och en pyramid vars bas är en kvadrat med sidan R och vars höjd är R har volymen 1/3 gånger R i kubik. Förhållandet är alltså 4pi, vilket var känt av Arkimedes på 200-talet f.kr. Frågaren tycks ha tagit fel på radie och diameter i formeln för klotets volym.

Fråga 2:
Talet Pi definieras som förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Det är ett irrationellt tal, dvs det kan inte skrivas som kvoten av två heltal, och detta oberoende av om man använder 10 eller 7 eller någon annan bas för heltalssystemet. I Gamla Testamentet finns värdet 3 för Pi, men långt dessförinnan (rhindpapyrusen, c.a 1650 f.kr.) hade egyptierna funnit närmevärdet 256/64, vilket är drygt 3,16. Arkimedes visade att Pi är större än 223/71 och mindre än 22/7, vilket ger 3,14084 < p < 3,142858.
Jag känner inte till om egyptierna använde basen 7 i stället för 10, men detta är, som sagt, betydelselöst. Basen 10 används i rhindpapyrusen.

En kuriositet i sammanhanget är att den lagstiftande församlingen i staten Indiana i USA år 1897 i ett beslut fastställde ett felaktigt värde på Pi. Lyckligtvis fick en matematikprofessor vid Purdue University höra talas om saken innan lagförslaget hann antagas i andra läsningen och bli lag.

Vänliga hälsningar,

Lars Inge Hedberg, professor emeritus matematik

Fråga: Jag har ett sannolikhetsproblem som vänder upp-och-ner på min hjärna. Ingen jag frågat har gett mig ett tillfredställande svar på detta problem.

Jag ger dig ett kuvert med en summa pengar i. I min hand har jag ett annat kuvert och jag berättar för dig att det innehåller antingen dubbelt så mycket eller hälften så mycket. Vill du byta? Som jag ser det verkar det smartast att byta. Säg t ex att det är 100 kr i det första kuveret så vinner man ju 100 eller förlorar 50 kr på att byta.

Vi börjar om från början, denna gång lägger jag kuveren bredvid varandra på ett bord och ber dig välja ett kuvert. När du plockat upp ett kuvert berättar jag att det finns dubbelt så mycket eller hälften så mycket i det andra kuveret. I detta fall verkar det ju också smartast att byta men eftersom det var du som påverkade det första valet så känns det som om slutresultatet inte går att påverka.

Varför känns skillnaden så stor mellan dessa två fall?
Tjänar man på att byta i något av fallen?
Spelar det någon roll om man öppnar det första kuvertet man fått och ser summan i det?

Svar: Här kommer ett svar, och om det blev långt, så kan jag bara säga att det beror på att jag tycker det är en intressant frågeställning.

För att man ska kunna uttala sig om sannolikheter, eller vilket alternativ som är bäst i en given situation, måste förutsättningarna för problemet vara kända. För att göra parodi på problemet med kuverten kan man ställa frågan

"Här är ett kuvert med en summa pengar. Vill du köpa det för tio kronor?"

Det mest exakta svar man kan ge här är att om det är mindre än tio kronor i kuvertet, ska man inte köpa det, men om det är mer än tio kronor, tjänar man på att köpa. Eftersom det i problemets förutsättning inte finns någon indikation på hur summan pengar i kuvertet bestäms, kan man inte tillskriva några sannolikheter till dessa alternativ. Man kommer alltså inte längre, i alla fall inte med matematiska metoder.

Inom parentes sagt, trots att det här exemplet verkar löjligt, finns en analogi i verkliga livet. Man kan ju tänka sig att även om sannolikheten är mycket stor att vi blir lurade om vi köper, dvs kuvertet innehåller ingenting, eller bara en krona, så kan det löna sig att köpa om vi bedömer att det finns en mikroskopisk chans att kuvertet innehåller en mycket stor summa, säg 100 000 000 kronor. Om man tänker så, är risken att man blir lurad av de s. k. "afrikabrev" som cirkulerar på internet.

I den första situationen som nämns i frågan, är det inte lika uppenbart att förutsättningarna inte är väldefinierade, men svaret är även här att om vi inte vet någonting mer, kan vi inte uttala oss om vad som är bäst, att byta eller inte. Man kan tycka att sannolikhetsteori borde vara läran om hur man ska agera när man inte har fullständig information. Sannolikhetsteorin kräver visserligen inte att man vet exakt hur mycket pengar det finns i de båda kuverten, men den (eller åtminstone de matematiska metoderna) kräver att man vet exakt hur det gick till när penningsummorna bestämdes (dvs om man kastade en tärning, etc).

I den första analys som frågeställaren gör, kommer han till slutsatsen att det är bäst att byta. Man har ju dubbelt så mycket att vinna som man har att förlora. Den här analysen är riktig om penningbeloppen i de båda kuverten bestämdes på exempelvis följande sätt: I kuvert A läggs 100 kronor. Sedan singlas en slant. Vid "krona", läggs 200 kronor i kuvert B, och vid klave läggs 50 kronor i kuvert B. "Försökspersonen" får sedan kuvert A. Vi har då 100 kronor, men om vi byter får vi i genomsnitt (50+200)/2 = 125 kronor. Vi tjänar alltså på att byta.

Resonemanget håller också om beloppet i kuvert A bestäms av slumpen. Om man t ex först kastar en tärning, och placerar 100 x (tärningens utfall) i kuvert A, och därefter singlar slant och placerar antingen hälften eller dubbelt så mycket i kuvert B, så lönar det sig att byta till kuvert B. Låt oss kalla detta för scenario 1.

Antag nu att vi bestämmer beloppen i kuverten på ett annat sätt, som vi kallar scenario 2 (motsvarande den andra versionen i frågan, där man lägger kuverten bredvid varandra på ett bord). Vi placerar 100 kronor i ett kuvert, och 200 kronor i det andra. Därefter blandas kuverten, och vi får det ena. Ska vi byta? I det här fallet är det uppenbart att oavsett om vi byter eller inte, har vi 50% chans att få kuvertet med 100 kronor, och 50% chans att få det med 200 kronor. Det spelar alltså ingen roll om vi byter eller inte. Det är dock fortfarande 50% chans att det finns dubbelt så mycket i det andra kuvertet, och 50% chans att det finns hälften så mycket.

Som alla bra matematiska "paradoxer", pekar även den här mot ett viktigt begrepp, nämligen beroende. I scenario 1 är chansen att det finns dubbelt så mycket i kuvert B som i kuvert A oberoende av beloppet i kuvert A. Vi kan alltså tänka oss att vi öppnar kuvert A, och ser hur mycket som finns där, och med denna extra information bedömer vi fortfarande sannolikheten som 50% för att det finns dubbelt så mycket i kuvert B. I scenario 2 däremot, är sannolikheten att det finns dubbelt så mycket i kuvert B beroende av beloppet i kuvert A. Ju mer pengar det finns i kuvert A, desto troligare är det att det finns mindre i kuvert B.

I scenario 2 håller därför inte resonemanget att man har dubbelt så mycket att vinna som man har att förlora. När man vinner på att byta, vinner man ju 100% av vad man har i det första kuvertet när man vinner på att byta, men när man förlorar på att byta, förlorar man 50% av vad man har i det första kuvertet när man förlorar på att byta. Och 50% av 200 kronor är lika mycket som 100% av 100 kronor.

Vi kan till och med tänka oss ett scenario 3, där man gör som i scenario 1, dvs kastar en tärning för att bestämma beloppet i kuvert A, och därefter singlar slant och lägger antingen dubbelt eller hälften i kuvert B, men där försökspersonen fär kuvert B. Lägg märke till att det fortfarande är 50% chans att det finns dubbelt så mycket i det andra kuvertet. Samma uträkning som i scenario 1 visar förstås den här gången att vi tjänar på att inte byta. Det verkar som om frågeställaren ändå har insett vad lösningen på paradoxen handlar om, när han avslutar med frågan "Spelar det någon roll om man öppnar det första kuveret man fått och ser summan i det?". Det är just detta som är den avgörande punkten. Om det inte spelar någon roll (för sannolikheten att det ska finnas dubbelt så mycket i det andra kuvertet) ska man förstås byta. Om det däremot finns en stark korrelation mellan mycket pengar i det kuvert man har, och att det finns mindre i det andra kuvertet, kan slutsatsen bli att det lönar sig att inte byta.

Hur stark denna korrelation är, beror förstås på detaljer i det förfarande som bestämmer beloppen i kuverten, och den här "paradoxen" illustrerar på ett bra sätt att man behöver känna till dessa detaljer för att problemet överhuvudtaget ska vara matematiskt väldefinierat.

Johan Wästlund

Fråga: Går det att bevisa att om två polynomfunktioner är lika (f(x)=g(x) för alla x) så är det också samma polynom?

Svar: Om man vet att polynomen har grad d så räcker det att känna till att
f(x)=g(x) för d+1 olika tal x så vet man att de är samma polynom och har
samma koefficienter.

Svante Linusson, professor matematik

Fråga: Man vet att en man har 2 barn. Han visar upp sitt första barn som visar sig vara en flicka. Hur stor chans är det att det andra barnet är en flicka? Varför? En del säger 1/2 andra säger 1/3. Vad är rätt? Varför då? Varför är det andra fel? MVH Ante

Svar: Rätt svar är 1/2.

Anledningen till att det finns olika förslag till svar är att det finns flera snarlika problem som har olika svar och att det kan vara svårt att skilja de olika problemen åt.

Låt mig beskriva tre olika problem. Alla har det gemensamt att vi pratar med en man som man vet har två barn och vi frågar efter mer information om hans barn och vill räkna ut sannolikheten att båda hans barn är flickor.

Problem 1. Vi ställer frågan: "Är ditt äldsta barn en dotter?", och får svaret "Ja" från mannen.

Här är det tydligt att man inte får reda på någonting alls om könet på det yngsta barnet och det är således sannolikhet 1/2 att hon också är en flicka. Jag tolkar din fråga som detta problem och svaret på hans fråga är alltså 1/2.

Problem 2. Vi ställer frågan: "Har du någon dotter?", och får svaret "Ja".

Nu kan man tänka så att det finns fyra olika möjligheter till könsfördelning för de två barnen:

Sannolikhet före : Sannolikhet efter 
pojke + pojke : 1/4 : 0
pojke + flicka : 1/4 : 1/3
flicka+ pojke : 1/4 : 1/3
flicka+ flicka : 1/4 : 1/3

Om allt vi vet är att minst ett av barnen är en flicka så försvinner endast den översta möjligheten. Kvar blir tre möjligheter och man kan räkna ut att sannolkheten för de övriga tre fallen är 1/3 för varje fall och i endast ett av dessa tre fall är båda barnen flickor. Alltså är sannolikheten 1/3 att båda är flickor i detta fall.

Problem 3. Man väljer slumpvis (lika sannolikhet) ett av mannens barn och frågar efter könet på det och får reda på att det är en flicka. Även nu har man de fyra fallen enligt ovan, men om man räknar vilka sannolikheterna blir med den nya informationen blir det:

Sannolikhet före : Sannolikhet efter 
pojke + pojke : 1/4 : 0
pojke + flicka : 1/4 : 1/4
flicka+ pojke : 1/4 : 1/4
flicka+ flicka : 1/4 : 1/2

I detta fall blir alltså sannolikheten att båda barnen är flickor 1/2.

Detta hur ny information påverkar sannolikheter kallas för betingade sannolikheter och det är lätt att tänka fel när man skall beräkna dessa. Jag ska inte här gå in på hur man räknar ut betingade sannolkiheter, men vill man ha en intuitiv förklaring till varför det blir som det blir i problem 3, så kan man tänka att i tabellen förekommer "flicka" fyra gånger och det är lika stor chans att det slumpvis valda barnet är vilken som helst av de fyra flickorna. Vill man veta mer om betingade sannolikheter så kan man titta i en grundläggande universitetsbok i sannolikhetsteori.

Det riktig svåra uppstår när man inte riktigt vet förutsättningarna så exakt som i problemen ovan. Det kan vara en dåligt formulerad fråga där man inte riktigt vet hur man skall tolka den nya informationen och hur den påverkar sannolikheten. Det är också ofta fallet i många verkliga situationer. Om man t.ex. träffar på mannen på stan och han råkar ha en dotter med sig kan man ju tycka att barnet är slumpvis utvalt av hans två och att man befinner sig i problem 3. Men om man träffar mannen på en match i damfotboll där hans dotter spelar så tycker jag att man snarare är i problem 2.

(Jag har här antagit att sannolikheten för att ett barn är en flicka alltid är precis 1/2, i verkligheten föds ju en aning fler pojkar än flickor.)

Svante Linusson
professor på matematiska institutionen vid Linköpings universitet

 


Sidansvarig: ake.hjelm@liu.se
Senast uppdaterad: Tue Feb 26 10:12:21 CET 2013